关于由递推公式求数列的通项

方法1、

配方法。

配方后换元，减少递推公式中项的数目，简化运算。

a[n] = 2a[n-1] - a[n-2] 

a[n] - a[n-1] = a[n-1] - a[n-2]

设b[n] = a[n] - a[n-1]

则b[n] = b[n-1]，为等差数列。然后可以根据初始条件进行计算。

 

方法2、

特征方程。

 

方法3、

生成函数。

A = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + … + a[n]x^n + ...

kxA = ...

(1 + kx)A = a[0] + { a[2] + a[1]k }x + ...

若一直a[n] + a[n-1]k = 0，则后面所有项为0。

可求得A = a[0] / (1 + kx )。

a[1] = A'(x)/1!, a[2] = A''(x)/2!, ......

可求出其通项a[n] = A(x)^(n) / n!